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Text File  |  1989-09-24  |  13KB  |  309 lines
  1. ================================================================================
  2.  
  3.     Airfoil generator utilizing the Joukowski transformation
  4.  
  5.     Written by:  Russell Leighton
  6.              762 1/2 W. Newgrove
  7.                  Lancaster, CA  93534
  8.                  22 March 1987
  9.     Addendum by: David Foster
  10.              1060 Hemlock Drive
  11.                  Rochester, MI 48063
  12.                  19 June 1988
  13. ================================================================================
  14.  
  15.     The following paper is a condensed version of the paper I
  16.     originally wrote describing the Joukowski tranformation.  It was
  17.     submitted to the Aeronautical and Mechanical Engineering
  18.     Department, School of Engineering and Technology of the
  19.     California Polytechnic State University in San Luis Obispo, CA
  20.     June 1984.
  21.  
  22. ================================================================================
  23.  
  24.     A Computational Flow Visualization Technique Utilizing the
  25.     Joukowski Transformation
  26.  
  27.     Written by:  Russell A. Leighton
  28.  
  29.     LIST OF SYMBOLS:
  30.  
  31.         u - Real component in w-plane
  32.         v - Imaginary component in w-plane
  33.         w - Complex resultant plane
  34.         x - Real component in z-plane
  35.         y - Imaginary component in z-plane
  36.         z - Complex source plane
  37.         i - Imaginary unit (square root of -1)
  38. ***
  39.         U - Free stream velocity
  40.         r - Circle radius
  41.         alpha - angle of incidence
  42. ***
  43.     INTRODUCTION:
  44.  
  45.     Conformal mapping is a very useful mathematical tool and has 
  46.     applications in the engineering field.  One particular application
  47.     utilizes conformal mapping to simplify the visualization of fluid
  48.     flow about airfoil sections.  By simplfing the mathematics this
  49.     technique allows for faster computation and therefore could be used
  50.     for real time computational flow visualization.  The potential uses
  51.     for a computational flow visualization technique range from an 
  52.     educational tool, illustrating the behavior of fluid flow about
  53.     airfoils, to an advanced modeling tool.  Since the actual flow is
  54.     computed about a simple shape, the circle, development of the flow
  55.     visualization equations is straight forward.
  56.  
  57.     The following sections will discuss the development of the mapping
  58.     equations, the streamline and pressure distribution equations, and
  59.     reverse mapping equations necessary for the calculation of the
  60.     circle parameters given airfoil data.
  61.  
  62.  
  63.     DISCUSSION:
  64.  
  65.     Conformal Mapping
  66.     -----------------
  67.  
  68.     Conformal mapping is a mathematical tool that can be used to
  69.     visualize the nature of complex functions.  A definition of 
  70.     conformal mapping can be understood by picturing two distinct
  71.     planes, the source plane (z-plane) and the resultant plane 
  72.     (w-plane).  Given a domain D of the z-plane and a complex function,
  73.     w = f(z) relating the z-plane to the w-plane, for each point in
  74.     domain D there exists a corresponding point in the w-plane.  If the
  75.     function, f(z) is an analytic function then the mapping given by
  76.     f(z) is said to be conformal, or angle-preserving, except at points
  77.     where the derivative, f'(z) is zero.
  78.  
  79.     The general form of the complex function relating the z-plane to
  80.     the w-plane is:
  81.  
  82.     (1)        w = f(z) = u(x,y) + (i)v(x,y)
  83.  
  84.             where:  z = x + (i)y
  85.  
  86.     The point wo = f(zo) corresponding to a point zo is called the
  87.     "image" of the point zo with respect to the mapping defined by
  88.     f(z).  A set of points representing a function in the z-plane will
  89.     have a corresponding set of points, or "image" in the w-plane.
  90.     Points located in the z-plane, such that the derivative of the 
  91.     mapping function goes to zero, are called critical points.  At 
  92.     these points the mapping is said to be non-conformal (i.e. the 
  93.     angles are not preserved).  As will be shown, these points are 
  94.     important for the following mapping.
  95.  
  96.     The Joukowski Transformation
  97.     ----------------------------
  98.  
  99.     The following mapping function is important in the field of
  100.     aerodynamics because of the nature of its' transformation.  With
  101.     this mapping function if a circle is plotted in the z-plane, such
  102.     that its' center is near the origin and it passes through one
  103.     critical point, it will be transformed into an airfoil shape. The
  104.     form of this function is:
  105.  
  106.     (2)        w = z + 1/z
  107.  
  108.     Its' derivative is:
  109.  
  110.     (3)        w' = 1 - 1/z = (z + 1)(z - 1)/z
  111.  
  112.     Therefore, the mapping will be conformal except at points z = 1
  113.     and z = -1, where w' goes to zero.  If plotted it would be evident
  114.     that passing through one of these points will produce a sharp edge 
  115.     resembling the trailing edge of an airfoil.  If the geometry of a 
  116.     circle is such that one of the critical points is intersected
  117.     while the other is bypassed, an airfoil shape will result from the
  118.     transformation.  This transformation is commonly known as the 
  119.     Joukowski transformation which was named for the Russian 
  120.     mathematician, Nikolai Jegorovich Joukowski for his initial use
  121.     of this mapping function.
  122.     ***
  123.     See below for second critical point location
  124.     ***
  125.  
  126.     Computer Implementation
  127.     -----------------------
  128.  
  129.     The derivation of the equations suitable for computer implementation
  130.     is as follows.  Given the complex function:
  131.  
  132.     (4)        w = u + (i)v = z + 1/z
  133.  
  134.     where u is the horizontal component in the w-plane and v is the
  135.     vertical component.  If
  136.  
  137.     (5)        z = x + (i)y
  138.  
  139.     then
  140.  
  141.     (6)        1/z = [1/(x + (i)y)][(x - (i)y)/(x - (i)y)]
  142.  
  143.     Separate the real and imaginary parts to obtain
  144.  
  145.     (7)        1/z = (x/s) - (i)(y/s)
  146.  
  147.             where:  s = x^2 + y^2
  148.  
  149.     therefore, from equation (4)
  150.  
  151.     (8)        u = x + x/s
  152.  
  153.     (9)        v = y - y/s
  154.  
  155.             where:  s = x^2 + y^2
  156.  
  157.     These equations define the mapping process and can be easily
  158.     implemented into computer software (see C source listing).
  159.  
  160.     To define the circle in the z-plane the radius and the location
  161.     of its' center are necessary.  Since the circle must pass through
  162.     one of the two critical points and bypass the other it is
  163.     necessary that the radius be greater than one.  This is actually
  164.     more information than is required to define the circle.  For
  165.     example, one component of the circle center location could be
  166.     calculated from the other component, the radius, and the known
  167.     critical point (e.g. -1,0).  Likewise, any of the other parameters
  168.     may be calculated if the remaining parameters are known.
  169.  
  170.     The Inverse Mapping
  171.     -------------------
  172.  
  173.     It has been shown that airfoil shapes may be easily obtained from
  174.     the Joukowski transformation of the relativily simple shape, the 
  175.     circle.  However, it is not convenient to define these airfoil
  176.     shapes in terms of their corresponding circle parameters (the radius
  177.     and center location).  To determine the necessary circle parameters,
  178.     an inverse mapping (or a mapping from the w-plane to the z-plane)
  179.     may be performed.
  180.  
  181.     Two airfoil parameters, the camber and thickness, are useful for
  182.     defining the airfoil.  A very simple inverse mapping, requiring
  183.     only three points to be mapped, can be found by specifing the 
  184.     camber and thickness at the mid-chord location.  The derivation
  185.     of this inverse mapping is rather involved, therefore, it is
  186.     left to the reader to determine, if so interested (or just take a
  187.     look at the C source listing and try to figure it out).
  188.  
  189.     Flow About Cylinders and Airfoils
  190.     ---------------------------------
  191.  
  192.     The usefulness of the Joukowski transformation is derived mostly
  193.     from the fact that a circle is a much simpler shape than the 
  194.     airfoil section.  This property of this particular mapping can be
  195.     further exploited by recognizing that not only is the airfoil
  196.     exactly represented by the circle (or a unit depth cylinder), but
  197.     the region about the airfoil is also represented by the region
  198.     surrounding the cylinder.  This means that any curves plotted about
  199.     the cylinder, in the z-plane, have corresponding curves located 
  200.     about the airfoil, in the w-plane.  Specifically, streamline and
  201.     pressure distribution plots may be computed for the cylinder and
  202.     then mapped onto the w-plane in order to obtain the corresponding
  203.     streamline and pressure distribution plots about the airfoil.
  204.     Again the equations for the streamline and pressure distribution
  205.     plots can be derived by the reader if so interested (the theory
  206.     can be found in most aeronautical engineering references).
  207. ***
  208. *   Also Advanced Engineering Mathematics,C.R.Wylie, pp 416-428
  209. *   McGraw Hill
  210. ***
  211.     Angle of Attack and Rotation Tranformation